Best Estimate

Versicherungsunternehmen müssen ihre versicherungstechnischen Rückstellungen unter Solvency II auf eine bestimmte Weise bestimmen, die durch den Begriff des „Best Estimate“ (Bester Schätzwert) charakterisiert ist (s. Bewertung versicherungstechnischer Verpflichtungen, Best Estimate Prämienrückstellung Non-Life, Best Estimate Schadenrückstellung Non-Life). Die im Versicherungsaufsichtsgesetz (VAG (2017)) und der Delegierten Verordnung (2014) implizit unterstellte Definition des Begriffs „Best Estimate“ ist aus Sicht der mathematischen Statistik allerdings problematisch.

Im VAG (2016) findet sich nur an einer einzigen Stelle, nämlich in § 77, die folgende inhaltliche Konkretisierung des Begriffs „Bester Schätzwert“:

(1) Der beste Schätzwert entspricht dem wahrscheinlichkeitsgewichteten Durchschnitt künftiger Zahlungsströme unter Berücksichtigung des Zeitwerts des Geldes (erwarteter Barwert künftiger Zahlungsströme) und unter Verwendung der maßgeblichen risikofreien Zinskurve.

(2) Die Berechnung des besten Schätzwerts hat auf der Grundlage aktueller und glaubhafter Informationen sowie realistischer Annahmen zu erfolgen. Sie stützt sich auf geeignete, passende und angemessene versicherungsmathematische und statistische Methoden.

Die Delegierte Verordnung (2014) geht demgegenüber an mehreren Stellen auf den Begriff „Best Estimate“ inhaltlich ein, wobei der obige Passus im VAG (2016) dem Abschnitt (14) in den zu Anfang dargelegten Erwägungsgründen der Delegierten Verordnung (2014) entspricht.

Über das VAG (2016) hinausgehend findet man in der Delegierten Verordnung (2014) in Artikel 34 noch folgende Erläuterungen:

1. Der beste Schätzwert wird transparent und in einer Weise berechnet, die gewährleistet, dass die Berechnungsmethode und die daraus hervorgehenden Ergebnisse der Überprüfung eines qualifizierten Experten standhalten.

2. Kriterium für die Wahl der versicherungsmathematischen und statistischen Methoden für die Berechnung des besten Schätzwerts ist, ob diese den Risiken für die zugrunde liegenden Zahlungsströme und der Art der Versicherungs- und Rückversicherungsverpflichtungen angemessen Rechnung tragen. Die versicherungsmathematischen und statistischen Methoden stehen mit allen für die Berechnung des besten Schätzwerts zur Verfügung stehenden relevanten Daten in Einklang und nutzen diese.

Ein wesentliches Problem bei den verschiedenen inhaltlichen Auslegungen des Begriffs „Best Estimate“ besteht allerdings darin, dass kein Kriterium genannt wird, was unter „best“ zu verstehen ist. In der klassischen mathematischen Statistik gibt es artverwandte Begriffe im Zusammenhang mit der Schätzung von Parametern in statistischen Modellen, z.B. den BLUE („best linear unbiased estimate, bester linearer unverzerrter Schätzer“). Hier bezieht sich „best“ konkret auf die Minimierung der Schätzvarianz für Linearkombinationen von Beobachtungen / Daten (vgl. etwa van der Waerden (1968), Cox und Hinkley (1974), Lehmann (1983) oder Becker et al. (2016)). In vielen Fällen ist das arithmetische Mittel ein solcher „bester Schätzwert“, was der Begriffserklärung in den oben genannten legislativen Texten schon recht nahekommt. Allerdings kann darunter auch etwas ganz anderes verstanden werden (was teilweise in den genannten Texten implizit auch zum Ausdruck kommt), nämlich ein Schätzwert für einen Parameter, der unter den gemachten Beobachtungen „am wahrscheinlichsten“ ist (Maximum-Likelihood-Prinzip, vgl. Pfanzagl (2017), S. 113).

Die Problematik eines „besten Schätzwerts“ als Mittelwert von Beobachtungen soll kurz an folgendem Beispiel veranschaulicht werden. Wenn wir annehmen, dass ein versicherungsspezifisches Risiko X über dem Intervall (0,ϴ) mit ϴ > 0 stetig gleichverteilt ist, und ein „bester Schätzwert“ für den (unbekannten) Erwartungswert E(X) = ϴ /2 gesucht ist, so ergibt ein Vergleich der jeweils unverzerrten Schätzwerte ϴn als Mittelwert, Median oder skaliertes Maximum auf der Basis von n voneinander unabhängigen Beobachtungen X1,…,Xn des Risikos X:

1.) ϴn = (X1+…+Xn)/n: E(ϴn) = ϴ /2 = E(X) und Var(ϴn) = ϴ2 /(12n)

2.) ϴn = med(X1+…+Xn): E(ϴn) = ϴ /2 = E(X) und Var(ϴn) = ϴ2 /(4n), falls n ungerade ist

3.) ϴn = (n+1)·max(X1+…+Xn)/2n: E(ϴn) = ϴ /2 = E(X) und Var(ϴn) = ϴ2 /(4n(n+1)).

Die Formeln 2.) und 3.) ergeben sich aus der bekannten Tatsache, dass die Ordnungsstatistiken einer stetigen Gleichverteilung über dem Intervall (0,1) Beta-verteilt sind, vgl. David und Nagaraja (2003), Abschnitt 2.4.
Die kleinste Schätzvarianz ergibt sich in diesem Fall nicht beim arithmetischen Mittel, sondern beim skalierten Maximum, was zugleich dem skalierten Maximum-Likelihood-Schätzer entspricht (vgl. Beispiel 3.3. c) in Becker et al. (2016)).

Die folgende Graphik zeigt den konsekutiven Verlauf der skalierten Größen (√n)(ϴn – E(X)) bei 1000 Simulationen aus einem über dem Intervall (0,8) gleichverteilten Risiko für n = 1,…,1000:

Simulation Best-Estimate
Abbildung 1: Simulation Best-Estimate

Es ist deutlich ersichtlich, dass hier der Schätzwert ϴn = (n+1)·max(X1+…+Xn)/2n ein „bester Schätzwert“ für den Erwartungswert E(X) ist und nicht der Mittelwert oder Median der Beobachtungen.

Fazit

Eine Verwendung des Begriffs „Best Estimate (Bester Schätzwert)“ ohne Angabe eines geeigneten Optimierungskriteriums (z.B. minimale Schätzvarianz) ist aus Sicht der mathematischen Statistik mehr als fragwürdig und sollte insbesondere in legislativen Texten durch klarere Angaben ersetzt werden.

Literatur

Becker, Herrmann, Sandor, Schäfer und Wellisch (2016): Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer, Berlin.
Cox und Hinkley (1974): Theoretical Statistics. Chapman & Hall, London.
David und Nagaraja (2003): Order Statistics. Wiley, N.Y.
Lehmann (1983): Theory of Point Estimation. Springer, Berlin.
Pfanzagl (2017): Mathematical Statistics. Essays on History and Methodology. Springer, Berlin.
van der Waerden (1969): Mathematical Statistics. Springer, Berlin.

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