Naturgefahrenmodelle

Die weitaus größten Risiken in der Schadenversicherung gehen weltweit auf regelmäßig wiederkehrende Naturkatastrophen wie Stürme, Überschwemmungen oder Erdbeben zurück. Erstversicherungsunternehmen beteiligen fast immer einen oder mehrere Rückversicherer an Schäden dieser Art, wodurch eine weltweite Diversifizierung dieser Risken erfolgt, ohne die eine stabile Versicherungswirtschaft gar nicht möglich wäre.

Geophysikalische Simulationsmodelle

In der Praxis haben sich in der jüngeren Vergangenheit Risiko-Analysen auf der Basis so genannter geophysikalischer Modelle als sehr effizient herausgestellt, bei denen die jährlichen Schadenfrequenzen und Einzelschadenhöhen im Rahmen eines geeigneten kollektiven Modells der Risikotheorie hinterlegt sind. Oft liegen für die einzelnen Naturgefahren historische Szenarien (Historic Event Sets) vor, die homogenen Teilkollektiven eines Poisson-Frequenzmodells entsprechen. Durch stochastische Perturbationen der zusammen mit den Szenarien hinterlegten geophysikalischen Parameter wie Windrichtung, Zugbahn, Windgeschwindigkeit, Sturmdauer, Lage

der Epizentren von Erdbeben, Art und Stärke der Schockwellenausbreitung usw. lassen sich hieraus leicht weitere repräsentative, virtuelle Szenarien generieren (Stochastic Event Sets), die mühelos 50.000 und mehr Einträge umfassen können. Wählt man unter diesen Szenarien diejenigen aus, die ein bestimmtes Versicherungskollektiv tangieren (z.B. die gegen Sturmschäden oder Überschwemmung versicherten Gebäude einer Versicherungsgesellschaft in Norddeutschland), lassen sich auf diese Weise mit dem Computer alle wesentlichen Aspekte der Schadenverteilung für das Kollektiv berechnen oder simulieren.

Mathematische Struktur eines geophysikalischen Modells

Die Basis-Version eines geophysikalischen Modells mit Poisson-Frequenzen ist durch zwei wesentliche Eingabeparameter gekennzeichnet:

  • Der typische oder durchschnittliche Schaden Lj (Loss), der bei jeder Realisation des Szenarios j eintritt.
  • Der Schadenfrequenz-Parameter λj (Rate), d.h. die erwartete Anzahl des wiederholten Eintretens des Szenarios j pro Jahr.

Eine Auflistung dieser Parameter in tabellarischer Form wird üblicherweise als Event Loss Table (ELT) bezeichnet.

Da die Schadenfrequenzen λj in realen geophysikalischen Modellen relativ klein ausfallen (typischerweise deutlich unterhalb von 1), stimmen sie auf Grund der Formeln für die Poisson-Verteilung in sehr guter Näherung mit der Eintrittswahrscheinlichkeit des Szenarios j überein.

Das Formelwerk eines geophysikalischen Modells

In der Versicherungstechnik – insbesondere im Hinblick auf eine sinnvolle Rückversicherungsstruktur – sind die folgenden Schadentypen besonders interessant:

  • Der Jahres-Gesamtschaden S (Aggregate Loss) und
  • Der Jahres-Maximalschaden M, der auch als Ereignisschaden (Occurrence Loss) bezeichnet wird.

Es hat sich eingebürgert, diese beiden Schadentypen durch die jeweilige komplementäre Verteilungsfunktion (Überschreitungswahrscheinlichkeit) zu beschreiben, also

AEP (x) = P(S > x)

und

OEP (x) = P(M > x)

für x > 0.

Hierbei steht AEP für „Aggregate Loss Exceeding Probability“ und OEP für „Occurrence Loss Exceeding Probability“.

Die Verteilung des Jahres-Gesamtschadens S und damit die __AEP__-Kurve lässt sich nur mit numerischen Methoden berechnen.

Das Poisson-Frequenzmodell erlaubt aber eine einfache Berechnung der OEP__-Kurve, wenn die Szenarien nach Größe der Schäden __Lj angeordnet sind, d.h. wenn gilt

L1 < L2 < ⋯ < Lj < ⋯.

Die OEP-Kurve hat dann die Form

OEP(Lj) = P(M > Lj) = 1 − exp( −Σi>j λj ).

Es ist anschaulich klar, dass die AEP__-Kurve immer oberhalb der __OEP__-Kurve liegt, weil der Jahres-Summenschaden __S immer mindestens so groß wie der Jahres-Maximalschaden M ist. Die __AEP__-Kurve ist typischerweise auch glatter als die __OEP__-Kurve.

Beispiel von AEP-/OEP-Kurven
Beispiel von AEP-/OEP-Kurven
Quelle: eigene Darstellung

Fortgeschrittene geophysikalische Modelle enthalten neben den deterministischen Schäden Lj auch Angaben zu den Standardabweichungen oder sogar ganze Verteilungsmodelle (sog. secondary uncertainties). Meist werden auch noch Varianten für die Frequenzverteilungen der Szenarien betrachtet. Die __AEP__- und __OEP__-Kurven können dann im Allgemeinen nicht mehr explizit berechnet werden; sie werden in diesen Fällen alternativ mit Methoden der Monte-Carlo-Simulation generiert.

Modellkomponenten

Die einzelnen Komponenten eines geophysikalischen Modells folgen grundsätzlich folgendem Aufbau:

Modellkomponenten
Quelle: eigene Darstellung

Das Gefährdungsmodul enthält neben den historischen und synthetischen Ereignissen (Szenarien), die Schadenfrequenz-Parameter λj (Rates) im Poisson-Frequenzmodell oder andere Angaben und Parameter für alternative Frequenz-Verteilungen.

Das Inventarmodul gibt u.a. Auskunft darüber, wo sich die versicherten Objekte befinden, welche Art von Versicherung vorliegt und wie groß die betroffenen Versicherungssummen sind.

Das Verwundbarkeitsmodul beruht sehr wesentlich auf ingenieurwissenschaftlichen Erkenntnissen darüber, welche Schäden (Art und Höhe) je nach geophysikalischen Gegebenheiten an den versicherten Objekten entstehen können. Die dabei als Funktion von Winddruck, Windstärke, Magnitude (MMI) bei Erdbeben, Überschwemmungshöhe und -dauer usw. verwendeten Kurven zur Darstellung des Grades der Beschädigung heißen Damage Functions und bilden vor allem bei den kommerziellen Anbietern geophysikalischer Modelle ein Herzstück ihrer Produkte.

Typische Schadengrad-Kurven bei Erdbeben;
Typische Schadengrad-Kurven bei Erdbeben;
Quelle: eigene Darstellung

Das Schadenbewertungsmodul transferiert schließlich die Beschädigungsgrade in äquivalente

Geldgrößen; hierdurch ergeben sich im Prinzip die monetären Schaden Lj (Losses).

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